Елена, согласно ст. 164 Семейного кодекса Украины мать или отец ребенка могут быть лишены родительских прав только в четко определенных законом случаях, если он или она:

1) не забрали ребенка из родильного дома или иного медицинского учереждения без уважительных причин и на протяжении 6 мес. не проявляли родительского внимания к ребенку;

2) уклоняются от выполнения родительских обязанностей по отношению к ребенку;

3) жестоко обращаются с ребенком;

4) являются хроническими наркоманами или алкоголиками;

5) эксплуатируют ребенка или принуждают к бродяжничеству;

6) осуждены за совершение умышленного преступления по отношению к ребенку.

В Вашем случае при условии "исправного", хоть и копеечного материального обеспечения ребенка со стороны отца, при отсутствии фактов жестоко обращения или эксплуатации отцом ребенка говорить о лишении его отцовства вряд-ли возможно. Лишение родительских прав - это крайняя мера.

Однако, насчет получения разрешения на вывоз ребенка за границу дело можно сдвинуть с мертвой точки.

Согласно Правил пересечения государственной границы гражданами Украины, утвержденными Постановлением Кабинета Министров Украины от 27.08.1995 г. 57, выезд ребенка за границу в сопровождении одного из родителей без нотариально заверенного согласия второго из родителей возможен при наличии решения суда о предоставлении разрешения на выезд за пределы Украины ребенка, не достигшего 16 лет, без согласия второго родителя.

То есть, право на вывоз ребенка Вы можете получить по решению суда, предоставив доказательства того, что отец ребенка необоснованно уклоняется от предоставления такого разрешения.