Скорее всего, в Вашем случае сработал эффект "испорченного телефона". Никто не может дать всей семье американское гражданство на основании работы. Обычный путь в случаях, подобных Вашему, это оформление рабочей визы на срок до трех лет. Если в течение первых одного - двух лет работодатель убеждается, что работник - это именно тот, кто ему нужен (вот Вам и испытательный срок), то работодатель спонсирует работника и его семью на статус постоянного жителя США (гринкарту). Это долгий процесс, поэтому на время его прохождения рабочая виза обычно продлевается еще на три года.

И только через пять лет после получения гринкарт вся семья сможет подать ходатайство о получении гражданства США. Так что до обретения американского паспорта у Вас есть еще лет восемь - десять.

Можете ли Вы и Ваши дети все это время проживать в США? Да, при получении Вашим мужем рабочей визы члены его семьи (жена и дети до 21 года) тоже могут получить соответствующие визы. Права на работу в США, впрочем, они не дают.

Могут ли Вам отказать в такой визе? Конечно могут. Но такие отказы случаются крайне редко, для них нужны какие-то экстремальные причины и обстоятельства.